AESの土台は、20歳で逝ったGaloisが築いた有限体だった
Galois Finite Fields and the Advanced Encryption Standard (AES)
AESが暗号として成り立つのは、Galoisが1830年代に築いた有限体GF(2^8)のおかげだ。256個の要素を持つこの体では、加算・減算・XORがすべて同じ演算になり、乗算は既約多項式0x11bで剰余を取ることで1バイトに収まる。S-boxの逆元、ShiftRows、MixColumnsが組み合わさることで、単純な加算や乗算だけでは作れない非線形な暗号が実現する。
単に加算しか持たなければ、どれだけ演算を重ねてもシフト暗号にすぎず、加算と乗算だけなら、どれだけ重ねても線形暗号にすぎない。