微積分入門の簡素化とリファクタリング
Simplifying and Refactoring Introductory Calculus
初年度の微積分は、学生に過剰な負担をかける方法で教えられることが多い。学生は本質的に同じ作業を行うために多様な手続きを暗記しなければならない。しかし、多くの微積分のプロセスは簡素化・合理化でき、より少ない概念で初年度の学生により大きな柔軟性と能力を提供できる。
HNでの議論
79- jgord
微積分をどう導入すべきかについて、私は強い意見を持っています。視覚的に導入すべきだと。
学校では分配法則のような基本がうまく教えられていないと思いますし、もっと実際に手を動かして、測定し、数えるような体験であるべきだと思います。
私は、これらの概念をどう教えるべきかを概説しようと試みました。数えることから分配法則・代数、二次方程式、そして導関数まで、概念のビデオツアーを作ることで。こちらです：
https://www.youtube.com/playlist?list=PLEInJ-Z4qBKYxbK1Mm13g...
これらはすべて、いくつかの素晴らしい本でカバーされています：
W W ソーヤー『Vision in Elementary Mathematics』
ゲルファント『代数』
トーマス『微積分』
今では3Blue1Brown、KhanAcademy、ArtOfProblemsolving.com / BeastAcademyのような素晴らしいリソースがあります。だから、多くの学校が代数や微積分の教育を事実上放棄しているように見えても、子供たちに素晴らしい数学教育を与えることは_できる_のです。
- johnnyb_61820
取り上げてくれてありがとうございます！ 私はホームスクールの共同組合で定期的に微積分を教えていますが、既存の本（以前はSaxon Calculusを使って教えていました）に飽きてしまい、自分で『Calculus from the Ground Up』を書きました。この論文は、その本を書く際に使った原則を表しています。
興味深いことに、私のライプニッツ記法の2階導関数の再定式化は、実際には本を書いた結果でした。私は、なぜ2階導関数がそのように見えるのかについての記事を書きたいと思っていました。約10冊の微積分の本を見て、しっかりした答えを探しましたが、どこにもありませんでした。それで、結局自分で公式を導き出そうと決心しました。公式を導き出せたときは非常に驚きましたが、それは異なるものでした。しばらくの間、自分の公式から標準的なものにどうやって到達するかを考えようとしましたが、最終的に標準的な定式化自体に問題があることに気づきました。
それは『Calculus from the Ground Up』の「付録B」にありますが、さらなる微積分のコースを受講する学生を混乱させないように、本文では使っていません。本では中間の立場を取り、新しい記法を強制せず、以前のものの間違いも犯さないようにしました。本は高次の導関数をあまり扱っていないので、使用は最小限です。
- cool_dude85
彼が「ご覧のとおり、これはd/dx()演算と同一ですが、結果がdxで除算されていない点が異なります」と言うところまで来ました。
彼のd()演算子で「dxで除算する」とはどういう意味ですか？ 突然、dy/dxを、割り算のように見える残念な記法から、実際にdyとdxという2つの意味のあるものを割っているものに変えたように見えます。そして、dyとdxは一体何なのでしょうか？
- rramadass
入門微積分のための良い本をいくつか：
1) レフ・タラソフ著『Calculus: Basic Concepts for High Schools』。ソ連時代の本で、著者と読者の対話形式で書かれています。絶対に素晴らしい（確率論などの彼の他の本も参照）- https://mirtitles.org/2018/09/04/calculus-basic-concepts-for...
2) モリス・クライン著『Calculus: An Intuitive and Physical Approach』。古典です。モリス・クラインの本はどれも必携です - https://store.doverpublications.com/products/9780486404530
3) H.C.Verma他著『Calculus: The Princess of Mathematics』。2巻セットで手頃な価格の必携書です。著者は有名なインドの物理教授で、これは特に学生が微積分を「理解」するために書かれており、典型的な教科書ではありません。- https://garudalife.in/calculus-the-princess-of-mathematics-v...
4) ララ・アルコック著『How to Think about Analysis』。上記のタラソフの本のように概念的洞察を提供します。著者の他の本もチェックしてください。- https://global.oup.com/academic/product/how-to-think-about-a...
今日では、ML/AIなどでの普及により、微積分を確率・統計と並行して学ぶ必要があると信じています。そのために：
a) リチャード・ハミング著『Methods of Mathematics Applied to Calculus, Probability, and Statistics』。ハミングによるものなので、最高の一冊です。- https://store.doverpublications.com/products/9780486439457?_...
b) マイケル・ジェミニャーニ著『Calculus and Statistics』。上記と同様です - https://store.doverpublications.com/products/9780486449937
- xiphias2
「さらに、極限を1年次のコースの終わりに移すことで、学生はその妥当性の形式的証明を見る前に、まず導関数の周りの直感を発達させることができる」
直感から定理まで1年待つことは、数学を台無しにする完璧な方法です。
数学は簡単であるべきではありませんが、システムベースの思考を理解するための素晴らしい方法であるはずです。
同時に、これらの構成要素が歴史的になぜ必要とされたのか、そして今日それらが何を解決するために使われているのかについて、もっと多くの例が教えられるべきです。