自然数の冪集合束は驚くほど豊かである
The lattice of sets of natural numbers is rich
自然数全体の集合の冪集合は、包含関係によって束をなす。この束は可算な任意の順序を部分順序として埋め込むことができるという普遍性を持つ。さらに、実数全体の順序を埋め込む非可算鎖や、非可算反鎖も存在する。また、任意の無限余有限集合の上側の束は全体と同型であり、自己同型群は推移的に作用する。
驚くべきことに、自然数の冪集合束には実数直線のコピーを埋め込むことができるのです。
HNでの議論
28- munchler
なんて美しい図解なんだろう。本文で議論されている非常に抽象的な概念を直感的に理解させてくれる。ズームインして構造を眺め回すのは楽しい。
- gregfjohnson
ジョエル・ハムキンスは私の新しいお気に入りの数学者だ :-)
自然数の冪集合を表示的意味論に応用する美しい方法がある。ハムキンス教授の本がそのトピックを扱うだろうと思うが、リンクされた記事には言及されていない。
ダナ・スコット（そしてどうやらゴードン・プロトキンも独立に）は、自然数の冪集合を用いてラムダ計算のモデルを作る巧妙な方法を思いついた。
問題は、ラムダ計算では、形式言語がすべての式を「関数適用」演算子の左側のスロットに現れることを許すことだ。つまり、すべての項は同時に関数への引数として与えられることが許され、また関数として使われることも許される。
そこで、S のすべての要素が関数である（ここまでは問題ない）が、それらの関数はすべて S の要素を入力として受け取り、S の要素を出力として生成する、という集合「S」を見つけるという難問に直面する。つまり、S が関数の集合「S -> S」と同型である必要がある。濃度の議論により、これは不可能であることが示される： 任意の非自明な集合に対する関数空間は、集合自体よりも大きな濃度を持つ。
そこで、スコットとプロトキンは、整数の任意の集合を整数の集合上の関数として解釈する「計算的に賢明な」方法を考案した。
標準的なエンコーディングにより、任意の整数「n」を順序対「<M,u>」として解釈する。今度は、再び標準的なエンコーディングにより、M を整数の有限集合 M_set として解釈する。
単集合 { n } によって定義される「関数」を他の集合 Q に適用すると、次のようになる：
{u} […]
- scythmic_waves
> 自然数のすべての集合の冪集合束 (P(N))、縮尺は正確ではない、いくつかの集合は省略されている...