シルベスター–ガライの定理：平面上の有限点集合に必ず存在する「ちょうど2点を通る直線」
The Sylvester–Gallai Theorem
ユークリッド平面上の有限点集合が一直線上にないならば、そのうちのちょうど2点を通る直線が必ず存在するというシルベスター–ガライの定理。ミシガン州立大学の数学者レロイ・ミルトン・ケリーによる証明は、点と直線の距離が最小となる組に注目し、背理法で鮮やかに示す。
もしℓが集合Sの3点以上を通ると仮定すると、Pとℓの距離よりも短い距離を持つ点と直線の組が存在してしまい、最小性に矛盾する。
- hyperhello
> ユークリッド平面上の有限点集合で、同一直線上にないものには、ちょうど2点を通る直線が存在する。
ここで何が言いたいのかよくわからない（駄洒落ではない）。もちろん、任意の2点を通る直線は存在する。もしその3点が同一直線上にあれば、3点を通ることもあるが、この定理はそうではないと言っている。では、新しい事実は何なのか？
- Nail2680
私にはこれがなぜ興味深く、役に立つのか理解できないほど愚かかもしれません。参考までに、私は現役の物理学者で、純粋数学の多くは私には理解できません。この証明は追えたと思いますが、なぜ気にする必要があるのか、あるいはこれが面白いのかがわかりません。
- pratikdeoghare
> 定理の強化によると、すべての有限点集合（すべてが一直線上にある場合を除く）は、少なくとも線形数の普通の直線を持つ。アルゴリズムは、n個の点の集合内で普通の直線をO(n log n)時間で見つけることができる。[1]
そのような直線はたくさんあり（凸包を考えよ）、それらは簡単に見つけられる。
このため、この定理の価値を理解しにくい。
何が大したことなのか、ずっと思ってしまう。
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%E2%80%93Gallai_theor...
- frotaur
証明の中で、「これらのうち少なくとも2つは、Pのℓへの垂直投影であるP′と同じ側に落ちなければならない」と主張している。
しかし、P′=Bとなる可能性があるため、これは真実ではない。しかし、証明は（少なくとも図に描かれているように、一般的な場合についてはあまり考えていないが）それでも成立するようだ。
- emil-lp
Futility Closetは素晴らしい！