Turns 比 Radians 更优：告别 Pi 与 Tau
Turns are Better than Radians
我们曾花费大量精力争论是用 Pi 还是 Tau，却忽略了更本质的问题：在代码中，Pi 和 Tau 往往可以完全移除。大多数三角函数调用中，程序员先将 0 到 1 的周期值乘以 Tau 转换为 Radians，而底层库实现（如 Godot Engine 或 AVX2 数学库）又立即将其除以 Pi 还原。这种无意义的往返转换不仅浪费计算资源，还导致 90 度等常见角度无法精确表示。相比之下，使用 Turns（转）作为单位，将圆周定义为 0 到 1，不仅能消除冗余乘法，还能让 0.25、0.5 等值在二进制中精确存储。无论是重写数学库还是利用 CUDA 的 sincospi 等现有函数，转向 Turns 或 Half-turns 都能让代码更简洁、高效且精确。
数学从未规定正弦和余弦函数必须接受 Radians 作为参数！
HN 评论区
211- kazinator
用“转（turns）”做单位时，数学绝对没那么完美，因为你的欧拉公式 e^ix = cos x + i sin x 不再成立。我们可以用 e 以外的底数，比如 B = e^2π，约等于 535.4916。但这失去了 e 的那些优美性质，比如 d/dx e^x = e^x。
自然对数的底数既是一个导数等于自身的指数函数的底数，又恰好出现在上述欧拉公式中，这一优雅事实表明弧度是特殊的：就像二进制之于计算机。
自然对数导数等于自身，这一点直接关联到基于弧度的 sin(x) 的导数是 cos(x) 等等。换成任何其他单位，你都会得到一堆比 2π 更糟糕的换算系数。
想象一下复杂的链式求导，二阶、三阶导数，链式法则和乘积法则，里面塞满了三角函数，却因为没用弧度而生成了一大堆不必要的级联换算常数。
- WCSTombs
我觉得在某种程度上谨慎地同意这个观点，但在我看来，真正的答案是这取决于应用场景。如果你正在编写底层三角函数库，必须在两者中择一，那我并不觉得“转”一定比弧度胜出。
我预计许多使用三角函数的系统，有时为了效率或作为通用情况的起点，会用到小角度近似。在这里使用泰勒级数是很自然的，即：
cos(x) = 1 - x^2/2 + ...
sin(x) = x - x^3/6 + ...
如果你决定将所有三角运算都用“转”来表示，那么你就得改用：
cos(2πt) = 1 - (2πt)^2/2 + ...
sin(2πt) = (2πt) - (2πt)^3/6 + ...
在这种情况下，如果你偶尔需要处理弧度，强行把所有东西都转成“转”会导致精度更低、效率更差。
与此密切相关的是，如果你需要计算涉及三角函数的函数的导数（例如在数值优化中），最好直接用弧度。因为如果不这样，你施加的任何额外系数都会出现在导数表达式中，反正你到时候也得处理它们。
基本上出于这个原因，从数学角度（远离计算机层面）来看，以弧度表示的三角函数显然是“正确”的惯例，因为基于弧度的三角函数导数表达起来太简单了。既然如此，如果我们必须选一种惯例……难道到处都用同一种东西不是更不容易混淆吗？话虽如此，那里还有一……
- mayoff
这个问题在于，当我看到 π 时，我就知道我们在讨论角度；而当你用“转”时，那只是某个数字。也许在类型安全的语言里会好用些。
- traes
与其考虑 sin()、cos() 和圆周运动，不如考虑沿正多边形的匀速运动及其在水平和垂直方向上的投影 hor() 和 ver()，这挺有趣的。
你可以用完成一个周期所需的时间 T 来参数化运动，并考虑其在任意 t mod T 时刻的水平（或垂直）投影。
这与 DFT（离散傅里叶变换）有关。随着正多边形顶点数的增加，我们将取极限得到 sin 和 cos。2π 会出现在匀速运动一个周期内覆盖的距离与投影运动幅度之比中。
- beeforpork
Fortran 2023 标准引入了新的内部函数：
“内部函数 ACOSPI、ASINPI、ATANPI、ATAN2PI、COSPI、SINPI 和 TANPI 是三角函数，其中角度以半圈（即 π 的倍数）指定。”