用差分表推导立方和公式

Sum of Cubes via Difference Tables

昨天我看了 Numberphile 频道 Ben Sparks 讲解有限级数求和的视频，他通过图形法巧妙推导了立方和公式。为了验证结果，我尝试用更笨拙但通用的差分表法：先列出数值，计算各阶差分，发现四阶差分为常数，从而确定这是一个四次多项式。接着，我分别用 Python 的 NumPy、Mathematica 以及 Numbers 电子表格求解线性方程组，最终得到了与视频一致的公式。此外，我还演示了一种逐步剥离高次项的迭代方法，通过不断构建新表来简化问题。虽然这种方法比直接解方程组慢，但一步步逼近答案的过程充满了数学的秩序美。