사영평면은 왜 배울 때는 억지 같고 나중엔 필연적으로 느껴질까
Making Peace with the Projective Plane
수학 교육은 추상적인 개념을 먼저 던지고 동기를 나중에 설명하는 경우가 많다. 저자는 사영평면이 바로 그런 예다고 말한다. 평면의 점을 (x, y) 대신 (x, y, 1)로 표현하고 (x, y, 0)을 무한원점으로 쓰는 방식은 그래픽스 프로그래머가 자연스럽게 도달하는 발상이며, 여기서 동차좌표가 저절로 나온다. 타원곡선 암호에서 '무한원점'을 다루다 보면 같은 개념을 다시 만난다.
사영공간과 동차좌표는 학생 시절에는 동기 부여 없이 제시되었기 때문에 임의적인 추상화처럼 보였다. 훨씬 나중에야 그것들이 자연스럽고 거의 필연적이라는 것을 깨달았다.
HN 토론
16- lopotubez
원점을 지나는 직선들과 사영평면 위의 점들 사이에 전단사가 존재함을 보일 수 있기 때문에, 이는 사영평면 위에서 평행선들의 족을 따라가면 그것이 원점을 지나는 수평선, 즉 "무한원점"에 대응된다는 것을 의미한다. 또한 그것은 평행선들과 같은 방향을 공유한다.
내 팔이 1차원 부분공간이고 천장이 사영평면이라고 생각하면서 누워 있을 때 이것을 상상한다. 평행선들의 족을 따라가면, 그것들은 모두 같은 직선이 된다(이게 바보 같게 들린다는 건 알지만, 나에게는 이것을 시각화하는 쉬운 방법이다).
이것은 또한 직선의 일반 방정식이 어디서 오는지 분명하게 해준다. 원점을 지나는 같은 직선 [a:b:c]와 그것에 수직이라고 추정되는 또 다른 직선 [x:y:z]를 상상해 보라. 그러면 피타고라스 정리에 의해 ax + by + cz = 0임을 보일 수 있는데, 이것은 정확히 [a:b:c]에 수직인 평면이다. 따라서 그 평면도 수평이라고 상상하면 그것은 "무한대의 지평선"에 해당한다. 직선 aX + bY + c = 0의 일반 방정식은 동차좌표 (X,Y,1)을 갖는 사영평면과의 교집합일 뿐이다. 여기서 X = x/z, Y = y/z, z != 0이다. 사영평면의 점들은 원점을 지나는 직선들에 대응되고, 사영평면의 직선들은 원점을 지나는 평면들에 대응된다.
현실이 겉보기에 사영적이라면 왜 사영평면이 학교에서 가르치는 "기본" 평면이 아닌지 항상 궁금하다.
- nh23423fefe
내가 사영기하학의 응용을 이해한 유일한 때는 이중벡터의 지수함수를 사용해 회전과 평행이동이 통합되는 것을 보았을 때였다. 나는 여전히 동차좌표를 이해하지 못한다. f(lambda*x)=lambda^n*f(x)이고 그것이 f가 준동형사상과 같다는 것을 의미한다는 건 이해하지만, 나는 어떤 문제 세트도 풀어본 적이 없고 왜 처음에 이런 것을 하는지 이해한 적이 없다. 입체사영이 무엇인지는 알지만, 문제에 적용할 수는 없다.
반면에 나는 내가 배운 다른 수학적 대상들의 응용을 끊임없이 본다. 나는 '오 그래, 그건 사영적이고 그래서...'라고 생각하는 나 자신을 결코 듣지 못한다.
- xeonmc
왜 그냥 "방향 공간"이나 "크기 없는 좌표"라고 부르지 않는지 항상 궁금했다.