为何数学家最终爱上了射影平面
Making Peace with the Projective Plane
学生时代，Projective space和homogeneous coordinates对我而言只是毫无动机的抽象概念。直到后来我才明白，它们其实是自然且几乎不可避免的。在Projective space中，那些棘手的特例和关于“无穷远”的模糊描述都消失了。我的数学教育是自上而下的，先给抽象再给具体，这让我在研究生阶段遭遇了抽象容忍度的瓶颈。现在，我主张自下而上的方法，先阐明动机再引入抽象。比如，图形程序员为了处理垂直线等特殊情况，往往会独立发明出类似homogeneous coordinates的技巧。当你在椭圆曲线加密中遇到神秘的“无穷远点”时，homogeneous coordinates就是那个让你摆脱困境的工具。
当我还是个学生时，Projective space和homogeneous coordinates似乎只是任意的抽象，因为它们是在没有任何动机的情况下被呈现出来的。
HN 评论区
16- lopotubez
既然可以证明过原点的直线与射影平面上的点之间存在双射，这意味着如果你在射影平面上描绘平行线族，它们将对应于过原点的水平线，也就是“无穷远点”。它们还与这些平行线共享相同的方向。
我想象自己在躺下时，把手臂看作一维子空间，天花板看作射影平面；如果我描绘平行线族，它们最终都会变成同一条直线（我知道这听起来很蠢，但这确实是我可视化它的一种简单方法）。
这也清楚地解释了直线一般方程的来源。想象过原点的一条直线 [a:b:c] 和另一条假定与之垂直的直线 [x:y:z]，根据勾股定理可以证明 ax + by + cz = 0，这正好是垂直于 [a:b:c] 的平面。所以，如果你想象这个平面也是水平的，那么它就对应于“无穷远处的地平线”。直线的一般方程 aX + bY + c = 0 仅仅是射影平面与齐次坐标 (X,Y,1) 的交线，其中 X = x/z 且 Y = y/z（z != 0）。射影平面上的点对应于过原点的直线，而射影平面上的线对应于过原点的平面。
我总是好奇，既然现实世界看起来是射影的，为什么射影平面不是学校里教授的那种“默认”平面呢。
- nh23423fefe
我唯一一次真正理解射影几何应用的时候，是看到旋转和平移通过双向量（bivectors）的指数形式被统一起来。我仍然不懂齐次坐标。比如，我明白 f(lambda*x)=lambda^n*f(x) 意味着 f 像是一个同态，但我从未做过任何习题集，也从未真正理解为什么要这么做。我懂什么是球极投影，但无法将其应用到具体问题中。
相反，我经常能看到其他数学对象的应用。我从未听到自己心里想，'哦哦，对，那是射影几何，所以……'
- xeonmc
我一直好奇，为什么他们不直接叫它“方向空间”或者“无模坐标”呢。