实数真的存在吗？Chaitin 的质疑
How real are real numbers? (2004)
IBM Research 的 G. J. Chaitin 在这篇文章中挑战了数学界对连续性的传统认知。他结合数学与物理学的论据，深入探讨了反对连续性、支持离散性的观点，并特别强调了 Emile Borel 的思想。文章质疑了实数在物理世界中的真实性，提出我们习以为常的数学连续体可能只是一个理论构造，而非物理现实的本质。这一观点引发了对数学基础与物理宇宙之间关系的深刻反思，值得每一位对数学哲学感兴趣的读者深思。
我们讨论了反对连续性并支持离散性的数学和物理论据，特别强调了 Emile Borel 的思想。
HN 评论区
89- ttctciyf
我一直很钦佩 Chaitin 的原创性思维，尤其是他能够用简洁易懂的短证明，清晰地传达关于基础、复杂性和信息的观点。
不过，看到他在这里为构造主义争论中的某一方摇旗呐喊，我有点惊讶。我更习惯将他与他所描述的数学“准经验”方法联系起来[0]，即采用新公理（例如选择公理）的理由在于它们能推导出新的、有趣的数学结果。
但在这里，他的目标似乎是要得出一个略带柏拉图色彩的结论：实数要么是有效的数，要么（似乎他更倾向于）不是。
作为一个外行，我的天真看法是：如果你采纳这套规则（这个形式公理系统），你就可以在越来越深奥复杂的无限基数游乐场里尽情玩耍；或者如果你采纳另一套形式公理系统，你就能发现在严格的构造主义体制下哪些结果能得出、哪些不能。无论你选择哪套形式公理系统，这都只是选择公理并应用有效的演绎步骤来得出你感兴趣的结论的过程，其中隐含的“存在”并不比解决问题方案的“存在”更多，而这种存在完全是非柏拉图式的，可以通过解决问题来证明：如果你采取这样的步骤，就会得到那样的结果。
我想这里要表达的观点是，避免那些暗示实数“存在”的公理，对于做……更有用。
- dhosek
我下载这篇论文大概有十年了，一直没空读。但想想看，特别是如果时空是量子化的（据我所知，这还是个未决问题，而且几乎肯定仍然是），那么在实数集 ℝ 中就会存在无法表示为物理量的数，即使宇宙是无限的。甚至代数数中也可能包含非物理的数（尽管这取决于时空量子化的结构，它可能是比可构造数更大的子集）。
- jonahx
在这个话题上，Norman Wildberger 是必须提及的人物。
这是 Curt Jaimungal 播客上的一次精彩讨论：
https://www.youtube.com/watch?v=l7LvgvunVCM
以及他与持更正统立场的 Daniel Rubin 就这一话题进行的良好辩论：
https://www.youtube.com/watch?v=edh5bbgSKqo
Wildberger 在自己的频道上关于这个话题的内容还有很多。即使你不同意他的观点，他的论点也发人深省。
- Nevermark
很遗憾，我们没有一个简洁熟悉的术语来指代不可计算/可构造的实数。
在我看来，在不可计算、不可命名数的语境下，“实”数这个称呼，和“虚”数一样，都是不幸的命名。
- andrewla
我认为人们过度关注实数的连续性问题了。我自己作为一个构造主义/直觉主义者，其实也是个实数怀疑论者。
但当我们说“有理数是离散的”或“可计算数是离散的”时，这些是测度论领域非常具体的主张，而该理论除了产生无尽的悖论和自我陶醉的胡言乱语外，几乎没有任何价值。同样，当人们说“有理数是可数的”和“可计算数是可数的”时，这默认接受了康托尔通过双射对应来测量基数的概念，再次重申，这又是一个除了产生无尽悖论和自我陶醉的胡言乱语外毫无价值的理论。
从实际意义上讲，有理数是非常连续的——任意两个有理数之间有无限（无界）个有理数——不像整数那样有“跳跃”的概念。而且任何有用的数都可以用有理数任意精确地逼近。
对于可计算数，差距甚至更小。对于有理数，你只能逼近。但你可以拥有一个恰好等于根号 2 的可计算数，因为可计算数就是形成任意精确逼近的算法。那个可计算数的平方本身也是可计算的，并且恰好等于 2。
“实”数能给你带来什么？也就是说，围绕那些……的数建立你的形式体系，你得到了什么回报？