Riemann zeta 函数如何揭示素数分布？

What does the Riemann zeta function have to do with the distribution of primes?

欧几里得早在公元前就证明了素数有无穷多个，但这只是故事的开始。真正的谜题在于：素数到底有多‘常见’？就像偶数很密集而 2 的幂次很稀疏一样，数学家们试图量化素数的分布密度。Euler 发现了一个惊人的联系：通过 Riemann zeta 函数，可以将所有整数的倒数和转化为所有素数的乘积形式，这就是著名的 Euler product formula。这个公式就像一座桥梁，连接了数论与微积分。通过对这个公式取对数并展开，我们最终证明了素数倒数之和是发散的，这意味着素数虽然稀疏，但数量依然多到无穷，且分布规律深藏于 Riemann zeta 函数的奥秘之中。

"Euler product formula 是一种在微积分中编码唯一素因数分解的方式，它因此成为了连接数论与微积分的桥梁。"