Сумма обратных чисел, свободных от простых префиксов, сходится при гипотезе Римана
The reciprocal sum of the prime-prefix-free numbers converges [pdf]
Положительное целое называется свободным от простых префиксов, если ни один из его собственных двоичных префиксов не является нечётным простым числом (OEIS A287117). В работе Дэна Брауна доказывается, что при условии гипотезы Римана сумма 1/n по таким числам сходится. Доля, которую они занимают в интервале [2^m, 2^{m+1}), оценивается как O_δ(m^{-1/log 2 + δ}) для любого δ > 0. Показатель 1/log 2 ≈ 1.4427 определяется тем, что основание 2 меньше e. Доказательство объединяет теорему Сельберга о простых числах почти во всех коротких интервалах с верхней решёткой для простых пар и бутстрапом для запаздывающей рекуррентности. Константы эффективны: сумма меньше F_{72} ≈ 5·10^{14}. Сходимость и эта оценка проверены машинно в Lean 4 поверх Mathlib, исходя из формулировки гипотезы Римана в Mathlib. Численно сумма безусловно превышает 3.5276, а эвристическая модель, подогнанная по точным подсчётам до 2^{46}, даёт около 3.877.
Сходимость, таким образом, зависит от того, что 1/log 2 ≈ 1.4427 больше 1. В основании b та же модель даёт показатель 1/log b, меньший 1 для всех b ≥ 3: двоичная система — единственное основание, в котором аналогичная сумма, как ожидается, сходится.