실베스터-갈라이 정리: 평면 위의 점들이 모두 일직선 위에 있지 않다면, 정확히 두 점을 지나는 직선이 존재한다
The Sylvester–Gallai Theorem
실베스터-갈라이 정리는 유한한 점 집합이 모두 일직선 위에 있지 않다면, 정확히 두 점을 지나는 직선이 반드시 존재한다는 정리입니다. 미시간 주립대학의 수학자 Leroy Milton Kelly의 증명은 점과 직선 사이의 최소 거리를 이용합니다. 점 P와 직선 ℓ이 가장 가까운 쌍이라고 할 때, ℓ이 세 점 이상을 포함한다고 가정하면 더 가까운 점-직선 쌍이 존재함을 보여 모순을 이끌어냅니다.
만약 ℓ이 두 점 이상을 포함한다고 가정하면, ℓ은 집합의 세 점 이상을 지나게 되고, 이 중 적어도 두 점은 P의 수선의 발 P′의 같은 쪽에 놓입니다.
HN 토론
49- hyperhello
유클리드 평면의 모든 유한 점 집합이 동일선상에 있지 않다면, 정확히 두 점을 지나는 직선이 존재한다.
여기서 요점을 모르겠습니다(말장난 아님). 물론 어떤 두 점을 지나는 직선은 존재합니다. 만약 세 점이 동일선상에 있다면 그 세 점을 지나는 직선도 있을 수 있지만, 정리는 그렇지 않다고 말합니다. 그렇다면 새로운 사실은 무엇인가요?
- Nail2680
이것이 왜 흥미롭고 유용한지 이해하기에는 내가 너무 멍청한가 봅니다. 도움이 될지는 모르겠지만, 저는 현역 물리학자이고, 순수 수학은 저에게 많이 어렵습니다. 이 내용을 따라가긴 했지만, 왜 신경 써야 하는지, 왜 흥미로운지 모르겠습니다.
- pratikdeoghare
정리의 강화에 따르면, 모든 유한 점 집합(모두 한 직선 위에 있지 않은)은 적어도 선형 개수의 평범한 직선을 가집니다. 알고리즘은 n개의 점 집합에서 O(n log n) 시간 안에 평범한 직선을 찾을 수 있습니다. [1]
그런 직선은 많고(볼록 껍질을 생각해 보세요) 찾기도 쉽습니다.
이 때문에 정리의 가치를 인식하기 어렵습니다. 계속 '뭐가 그렇게 대단하지?'라는 생각이 듭니다.
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%E2%80%93Gallai_theor...
- frotaur
증명에서 "이들 중 적어도 두 개는 ℓ에 대한 P의 수선의 발 P′의 같은 쪽에 있어야 한다"고 주장합니다.
하지만 P′=B인 경우가 가능하므로 이는 사실이 아닙니다. 그러나 증명은 여전히 성립하는 것 같습니다(적어도 그림에 묘사된 대로는, 일반적인 경우에 대해 깊이 생각해 보지는 않았습니다).
- emil-lp
Futility Closet은 환상적입니다!