실베스터-갈라이 정리: 평면 위의 점들이 모두 일직선 위에 있지 않다면, 정확히 두 점을 지나는 직선이 존재한다
The Sylvester–Gallai Theorem
실베스터-갈라이 정리는 유한한 점 집합이 모두 일직선 위에 있지 않다면, 정확히 두 점을 지나는 직선이 반드시 존재한다는 정리입니다. 미시간 주립대학의 수학자 Leroy Milton Kelly의 증명은 점과 직선 사이의 최소 거리를 이용합니다. 점 P와 직선 ℓ이 가장 가까운 쌍이라고 할 때, ℓ이 세 점 이상을 포함한다고 가정하면 더 가까운 점-직선 쌍이 존재함을 보여 모순을 이끌어냅니다.
만약 ℓ이 두 점 이상을 포함한다고 가정하면, ℓ은 집합의 세 점 이상을 지나게 되고, 이 중 적어도 두 점은 P의 수선의 발 P′의 같은 쪽에 놓입니다.