数学者が14年かけて「絶対に同点にならないサイコロ」を発明、5人用の完全解決に至る
New type of dice guarantees no tie when deciding who goes first
2012年のゲーム大会での夕食会で、ボードゲームデザイナーから「同点のない先手決めサイコロ」を依頼された数学者エリック・ハーシュバーガー。2〜4人用はすぐに解決したものの、5人用は難航。カナダのソフトウェアエンジニア、ポール・マイヤーがブルートフォース探索で5つの60面体サイコロという解を見つけ、約15年越しに実用化。数学的には完全に公平で、製造上の不完全さのみが結果に影響しうるという。現在も6人用など未解決の問題に取り組んでいる。
「数学的に、とても美しく魅力的に見えました。初日から、これはかなり馬鹿げた質問だと分かっていたけれども」
HNでの議論
106- madibo3156
記事には問題が何かが明確に書かれていないので、ここで説明する。
各参加者がサイコロを振る。同点になる可能性をなくすには、どのサイコロも他のサイコロと面の数字を共有してはならない。つまり、すべてのサイコロのすべての面の数字は一意でなければならない。公平にするには、すべての面の数字の分布が、どのサイコロも他のサイコロに対して有利にならないようにする必要がある。つまり、最も高い数字を出す確率が各サイコロで正確に同じでなければならない。問題は、これらの制約を満たす5つのサイコロの面の組み合わせを見つけることにある。難しい点の1つは、プレイヤーが増えるたびに方程式全体が変わることだ。確率は再計算され、新しい面を選ばなければならない。二次的な目標は、サイコロの面の数を最小限にすることだ。
- throw0101a
このWikipediaの記事で詳しく説明されている：
* https://en.wikipedia.org/wiki/Go_First_Dice
プロジェクトのページも参照：
* http://gofirstdice.ericharshbarger.org/
物理的なサイコロの例（35米ドル）：
* https://www.mathartfun.com/thedicelab.com/GFD5.html
* https://www.youtube.com/shorts/yMtTqiAhol8
* 英国のストア: https://mathsgear.co.uk/collections/dice/products/go-first-d...
上記の5人用ゴーファーストに加えて、4人用と3人用のゴーファーストもある：
- tzs
興味深い。3人用なら、この3つの6面サイコロのセットでうまくいく：
#1: 1 2 3 4 17 18
#2: 5 6 7 14 15 16
#3: 8 9 10 11 12 13
しかし、これらの3つのサイコロを持っていても、2人だけなら、それぞれが1つを手に取って振るだけではダメだ。もし誰かが#1を手にしたら、望ましい1/2ではなく、1/3の確率でしか勝てない。
2人の場合は、#2と#3だけを使わなければならない。
それは、私がこれらの数字を思いついた方法が以下の通りだからだ。
1. プレイヤーに1、2、3と番号を付ける。#1がちょうど1/3の確率で勝つようにしたい。それには、3面サイコロで1 1 H1を与え、他のサイコロのすべての数字がH1より低く、1より高いようにすればよい。
2. #1が1を出した場合、#2が半分の確率で勝つようにしたい。2面サイコロで2 H2を与え、残りのサイコロのすべての数字が2とH2の間にあるようにする。
3. 残りのサイコロも2面と仮定すると、合計6つの異なる数字が必要になる。1から6を使うと、サイコロのセットは(1 1 6)、(2 5)、(3 4)となる。
4. ほとんどの人は、3、2、2ではなく、同じ面数であることを好むだろう。それらの最小公倍数は6なので、3面を2倍にし、2つの2面を3倍にする：(1 1 1 1 6 6)、(2 2 2 5 5 5)、(3 3 3 4 4 4)。
5. 同じ数字が1つのサイコロに複数回あることを嫌う人もいるだろう。合計18面あるので、1から18まで番号を付け直そう。4つの1は1-4に、3つの2は5-7になり、以下同様にして、最初の3つの6面サイコロのセットが得られる。
これが3人以上のプレイヤーにも一般化できることは明らかで、プレイヤーが増えるほど[…]
- bmenrigh
大きな未解決問題は、5つの（順列公平な）30面サイコロのセットが存在するかどうかだ。
私は2012年から断続的にこれに取り組んでいる。約1ヶ月前に再開し、探索の速度を劇的に改善したが、私が探索している全空間を尽くすには、それでも私のコンピュータで推定70年かかる。
- kbelder
任意精度の小数部を持つ6進数のようにサイコロを振り、誰かが勝つまで止めない。
5、2、4の目は5.24のように扱う。
つまり、アレックスとボブが両方とも'3'を出したら、どちらかが高くなるまで精度を伸ばし続ける。
これが引き分けを振り直すことに対して何をもたらすのかと疑問に思うかもしれない。まあ、順序が保たれるのだ。例えば、複数の人がイニシアチブを振っていて、同点のために何度か振り直しがあった場合、次のようなイニシアチブの順序になるかもしれない：
John: 5
Betsy: 4
Alex: 3.16
Bob: 3.15
Phil: 2
もしアレックスとボブが振り直さなければならなかったら、順序が混乱する可能性がある。また、大きさも得られる：ベッツィはフィルより100%良かったが、アレックスはボブよりわずか0.3%良かっただけだ。
- eternityforest
不公平さが1兆分の1未満とかになるような、より少ない面数での近似解はあるのだろうか？
- nkmnz
パンデミックの初期に、妻がアズールで先手を取るためのじゃんけんで私に12連勝したことを思い出す。それはまるで…とにかく、彼女はアズールのゲームには全敗したので、まあ互角ってところだ。
- toast0
これらを購入したいなら、市販されている： https://mathartfun.com/dSpecial.html
（提携なし）
これらのセットのいくつかについては、ここでも議論があったと思う。