Cómo aprender a querer el plano proyectivo
Making Peace with the Projective Plane
John D. Cook cuenta cómo pasó de ver el espacio proyectivo y las coordenadas homogéneas como abstracciones arbitrarias a considerarlas casi inevitables. Su educación matemática fue muy descendente, con las abstracciones primero, hasta que en el posgrado alcanzó su límite de tolerancia. Ahora defiende un enfoque ascendente que motive las abstracciones antes de presentarlas como un hecho consumado, y muestra cómo los programadores las redescubren solos al manejar el punto en el infinito en criptografía de curvas elípticas.
Mucho después me di cuenta de que son naturales, casi inevitables.
- lopotubez
Dado que se puede demostrar que existe una biyección entre las rectas que pasan por el origen y los puntos del plano proyectivo, esto significa que si trazas familias de rectas paralelas en el plano proyectivo, eso corresponderá a la recta horizontal que pasa por el origen o "punto en el infinito". También comparte la misma dirección con las rectas paralelas.
Me imagino esto al acostarme pensando que mi brazo es el subespacio de 1 dimensión y el techo es el plano proyectivo; si trazo familias de rectas paralelas, todas terminan siendo la misma recta (sé que suena estúpido, pero es una forma fácil para mí de visualizarlo).
Esto también aclara de dónde viene la ecuación general de las rectas. Imagina la misma recta que pasa por el origen [a:b:c] y otra recta supuestamente perpendicular a ella [x:y:z]; entonces, por Pitágoras, se puede demostrar que ax + by + cz = 0, que es precisamente el plano perpendicular a [a:b:c]. Así que si imaginas que ese plano también es horizontal, entonces eso corresponde al "horizonte en el infinito". La ecuación general de la recta aX + bY + c = 0 es simplemente la intersección con el plano proyectivo con coordenadas homogéneas (X,Y,1), para X = x/z e Y = y/z, z != 0. Los puntos en el plano proyectivo corresponden a rectas que pasan por el origen, y las rectas en el plano proyectivo corresponden a planos que pasan por el origen.
Siempre me pregunto por qué el plano proyectivo no es el plano "por defecto" que se enseña en la escuela cuando la realidad parece ser proyectiva.
- nh23423fefe
La única vez que entendí aplicaciones de la geometría proyectiva fue al ver rotaciones y traslaciones unificadas usando exponenciales de bivectores. Todavía no entiendo las coordenadas homogéneas. O sea, entiendo cómo f(lambda*x)=lambda^n*f(x) y que eso significa que f es como un homomorfismo, pero nunca he resuelto conjuntos de problemas ni entendido por qué uno haría esto en primer lugar. Entiendo qué es la proyección estereográfica, pero no puedo aplicarla a problemas.
Mientras que constantemente veo aplicaciones de otros objetos matemáticos que he aprendido. Nunca me oigo pensar: 'oooh, sí, eso es proyectivo y por lo tanto...'
- xeonmc
Siempre me he preguntado por qué no lo llaman simplemente "espacio de direcciones" o "coordenadas sin magnitud".