Hipercurvas Bézier: la belleza matemática que podría reemplazar a las curvas de Bézier cúbicas
The mathematical beauty of hyperbezier curves
Raph Levien propone una nueva familia de curvas, las hipercurvas Bézier, que combina la versatilidad de las Béziers cúbicas con la suavidad de las espirales de Euler. A diferencia de las curvas de Spiro, estas curvas pueden representar tanto regiones de curvatura suave como picos de tensión. El artículo explora su comportamiento en la aproximación de Béziers cúbicas, superelipses, hipérbolas y elásticas, y presenta propiedades matemáticas elegantes. Aunque aún es un borrador, el autor invita a experimentar y vislumbra aplicaciones en diseño vectorial y ajuste de curvas.
La gran fortaleza de las Béziers es su versatilidad; para encontrar una familia de curvas estrictamente mejor, un requisito es claro: debe contener tanto variación suave de curvatura como regiones de mayor tensión donde la curvatura alcanza picos.
- momojo
Me encantan las curvas de Bézier. En la universidad comunitaria, fue la primera vez que me encontré con un tema que me hizo querer investigar más por mi cuenta. Uno de mis recuerdos más preciados es pasar varias noches trabajando mientras el resto de la casa dormía, en mi Macbook Pro de 2015, escribiendo código p5.js chapucero y pulsando refrescar en el navegador una y otra vez hasta que, de repente, empecé a ver curvas reales y hermosas florecer desde mis puntos de control.
Acabo de volver a buscar algunas fuentes antiguas[0], y no puedo creer que este post tenga ya casi una década. Las explicaciones y animaciones de este tipo estaban muy por encima de cualquier otro recurso que pudiera encontrar mediante búsquedas de Google en aquel momento.
- dahart
Entonces, Raph, ¿cómo dibujas estas cosas? No estoy seguro de por dónde empezar exactamente, dada una ecuación de la curvatura o del ángulo tangente (¿supongo?). El enlace a la herramienta de pluma habla de "puntos automáticos", dando la impresión de que es una especie de subdivisión de Bézier con algunas restricciones, ¿es eso correcto? Y tu artículo menciona que desde entonces has corregido algunas cosas en las matemáticas, así que esto es un poco diferente de la herramienta de pluma, ¿no usa puntos automáticos?
Jugando con tu demo, veo que la curva se bloquea en ciertas configuraciones y deja de moverse incluso cuando arrastro uno de los puntos de control. ¿Es esto un problema temporal o de estabilidad numérica, o es una propiedad de las curvas hiperbézier? Por ejemplo, si coloco los puntos de control en un cuadrado con P0 abajo a la izquierda, C1 abajo a la derecha, C2 arriba a la izquierda, P3 arriba a la derecha, y luego arrastro C1 hacia la derecha, la forma se bloquea rápidamente. Calculando a ojo, ¿es quizás cuando la longitud de P0C1 es ~1.5 veces la longitud de C2P3? Moviendo C1 más a la derecha y arriba/abajo, hay una gran área donde mover C1 no afecta la forma de la curva.
También me preguntaba sobre la nomenclatura P/C: ¿es una idea similar a Hermite donde P[03] son puntos y C[12] son similares a vectores tangentes? ¿Por qué no usar P[0123]?
Probablemente una cosa bastante obvia que vale la pena mencionar: las Béziers son ciertamente muy versátiles, pero hay que decir que una de las razones por las que son tan populares es porque las matemáticas son muy simples, ¿verdad? Descomponibles en pasos lineales, exponentes enteros, con un par de multiplicaciones de solo tus par…
- krtkush
Relacionado: El año pasado tuve el placer de trabajar con curvas de Bézier para hacer una interfaz de usuario muy específica para una aplicación en la que estaba trabajando.
Escribí un montón de publicaciones sobre cómo logré la interfaz, principalmente para explicar el proceso a mi yo futuro[0].
Como desarrollador móvil, fue muy divertido hacer algo diferente a construir una aplicación CRUD.
[0] https://www.krtkush.com/computer-graphics-basics-with-compos...
- dlg
"Espirales polinomiales, o curvas Spiro, el tema de mi tesis doctoral, no logran este objetivo."
¿No era tu tesis doctoral sobre métricas de confianza resistentes a ataques? Al menos recuerdo haberla leído.
- dcrazy
Jugando con el ejemplo, los puntos de control no se sienten más intuitivos de manejar que las curvas Bézier cúbicas tradicionales. Todavía muestran comportamientos molestos cerca de los extremos, aunque no tienden a "explotar" como las cúbicas tradicionales.
Me resulta curioso que el autor no haga ningún intento de comparar su solución con otras splines como las B-splines o las splines de Catmull-Rom, dada su popularidad en gráficos por computadora y CAD.