El teorema de Sylvester–Gallai: una prueba elegante de que siempre hay una línea con exactamente dos puntos
The Sylvester–Gallai Theorem
El teorema de Sylvester–Gallai, demostrado por el matemático Leroy Milton Kelly de la Universidad Estatal de Míchigan, afirma que en cualquier conjunto finito de puntos en el plano euclidiano que no sean colineales, existe una línea que pasa por exactamente dos de ellos. La prueba, presentada aquí, utiliza un argumento de contradicción basado en la distancia mínima entre un punto y una línea conectora, mostrando que si una línea contuviera más de dos puntos, se podría encontrar una distancia aún menor, lo que contradice la suposición inicial.
Si dibujamos una línea conectora 𝓂 que pase por P y C, y trazamos la perpendicular desde B hasta B′ en 𝓂, entonces BB′ será más corta que PP′ (porque PP′C y BB′C son triángulos semejantes).
- hyperhello
> Todo conjunto finito de puntos en el plano euclidiano que no sea colineal tiene una línea que pasa exactamente por dos de los puntos.
No puedo entender el punto aquí (sin juego de palabras). Por supuesto, una línea puede pasar por dos puntos cualesquiera. Podría pasar por tres si esos puntos fueran colineales, pero el enunciado dice que no lo son. Entonces, ¿cuál es el hecho nuevo?
- Nail2680
Puede que sea demasiado estúpido para entender por qué esto es interesante y útil. Si ayuda, soy físico en activo, y mucha de las matemáticas puras se me escapan. Creo que seguí esto, pero no sé por qué a uno le importaría o por qué sería interesante.
- pratikdeoghare
> Según un fortalecimiento del teorema, todo conjunto finito de puntos (no todos en una línea) tiene al menos un número lineal de líneas ordinarias. Un algoritmo puede encontrar una línea ordinaria en un conjunto de n puntos en tiempo O(n log n). [1]
Hay muchas de esas líneas (piensa en la envolvente convexa) y son fáciles de encontrar.
Esto hace difícil apreciar el teorema.
Sigues pensando, ¿y qué? ¿cuál es el gran problema?
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%E2%80%93Gallai_theor...
- frotaur
En la prueba, se afirma que "Al menos dos de estos deben caer en el mismo lado de P′, la proyección perpendicular de P sobre ℓ.".
Sin embargo, esto no es cierto ya que es posible que P'=B. Pero parece que la prueba aún funciona (al menos como se muestra en la imagen, no he pensado mucho en el caso general).
- emil-lp
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