Das Verband der natürlichen Zahlenmengen ist reichhaltig
The lattice of sets of natural numbers is rich
Der Potenzmengenverband aller natürlichen Zahlen enthält jede mögliche Menge natürlicher Zahlen, geordnet durch Inklusion. Dieser Verband ist universell für alle abzählbaren Ordnungen: Jede abzählbare Ordnung lässt sich als Unterordnung einbetten. Überraschenderweise enthält er sogar eine Kopie der reellen Zahlen als Kette und ein überabzählbares Antichain. Zudem ist er in gewisser Hinsicht homogen: Über jeder kofiniten Menge sieht der Verband aus wie der gesamte Verband, und für je zwei unendliche kofinite Mengen gibt es einen Automorphismus, der die eine in die andere überführt.
Die überraschende Tatsache ist, dass wir die rationale Linie in den Potenzmengenverband einbetten können – tatsächlich ist viel mehr wahr: Es stellt sich heraus, dass wir eine Kopie jeder beliebigen abzählbaren Ordnung in den Verband einbetten können.