Der Sylvester-Gallai-Satz: Ein Beweis, der die Ebene erhellt
The Sylvester–Gallai Theorem
Der Sylvester-Gallai-Satz besagt, dass jede endliche, nicht kollineare Punktmenge in der euklidischen Ebene eine Gerade besitzt, die durch genau zwei dieser Punkte verläuft. Der Artikel präsentiert den eleganten Beweis von Leroy Milton Kelly von der Michigan State University. Kelly betrachtet ein Punkt-Gerade-Paar mit minimalem Abstand und zeigt durch einen Widerspruch, dass die Gerade nur zwei Punkte enthalten kann. Der Beweis nutzt ähnliche Dreiecke und ist ein klassisches Beispiel für die Schönheit der Geometrie.
Wenn wir eine Verbindungslinie 𝓂 durch P und C ziehen und das Lot von B auf 𝓂 fällen, dann ist BB′ kürzer als PP′ – ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass P und ℓ das am nächsten beieinanderliegende Punkt-Gerade-Paar sind.
- hyperhello
hyperhello: > Jede endliche Punktmenge in der euklidischen Ebene, die nicht kollinear ist, hat eine Gerade, die durch genau zwei der Punkte verläuft.
Ich kann hier den Punkt nicht erkennen (kein Wortspiel beabsichtigt). Natürlich kann eine Gerade durch zwei beliebige Punkte verlaufen. Sie könnte durch drei verlaufen, wenn diese Punkte kollinear wären, aber die Aussage besagt, dass sie es nicht sind. Was ist also die neue Erkenntnis?
- Nail2680
Nail2680: Ich bin vielleicht zu dumm, um zu verstehen, warum das interessant und nützlich ist. Falls es hilft: Ich bin praktizierender Physiker, und viel reine Mathematik ist mir fremd. Ich glaube, ich bin dem gefolgt, aber ich weiß nicht, warum man sich dafür interessieren sollte oder warum das interessant sein sollte.
- pratikdeoghare
pratikdeoghare: > Gemäß einer Verschärfung des Satzes hat jede endliche Punktmenge (nicht alle auf einer Geraden) mindestens eine lineare Anzahl gewöhnlicher Geraden. Ein Algorithmus kann eine gewöhnliche Gerade in einer Menge von n Punkten in O(n log n) Zeit finden. [1]
Es gibt viele solcher Geraden (denke an die konvexe Hülle), und sie sind leicht zu finden.
Das macht es schwer, den Satz zu würdigen.
Man denkt ständig: „Na und, was ist daran so besonders?“
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%E2%80%93Gallai_theor...
- frotaur
frotaur: Im Beweis wird behauptet: „Mindestens zwei davon müssen auf derselben Seite von P′, der senkrechten Projektion von P auf ℓ, liegen.“
Das ist jedoch nicht wahr, denn es ist möglich, dass P′=B ist. Trotzdem scheint der Beweis durchzugehen (zumindest wie im Bild dargestellt; über den allgemeinen Fall habe ich nicht gründlich nachgedacht).
- emil-lp
emil-lp: Futility Closet ist fantastisch!