如何估算阶乘的大小？
How Big Are Factorials?
前几天我在想 52! 到底有多大，这促使我思考如何在不依赖计算器或电脑的情况下估算阶乘。其实，估算阶乘位数（即数字大小）背后有一些非常有趣的数学原理。文章首先给出了估算方法，随后深入探讨了 Gamma 函数和 Stirling 公式的推导过程。通过 Laplace 方法，我们可以从 Gamma 函数积分中推导出 Stirling 近似公式，进而利用对数计算阶乘的位数。以 52! 为例，估算结果与实际值 68 位惊人地接近。在处理这种天文数字时，误差几个位数通常无关紧要，但这套数学工具却能让我们快速把握数量级。
在像这样处理巨大数字的估算中，误差几个位数通常不是什么大问题。
- Sharlin
估算 n! 位数的一个快速粗略近似值是 n lg n，它通过不等式 1 * 2 * … * n ≤ n * … * n 给出了 n! 的上界。
（许多人在算法课上都对这个近似值很熟悉。）
如果需要更紧的界，可以使用 n lg n - n/2，或者如果你愿意，用 ln 10 的更好近似值来替代 1/2。这源于斯特林公式（Stirling's approximation），该公式指出 ln n! = n ln n - n + O(ln n)。
- ninju
作者在文章开头随口提到的 52! 触发了一段陈年记忆，让我想起了很多年前看到的一个网页：
https://czep.net/weblog/52cards.html
有人知道怎么判断这个网页的年龄吗？（它肯定至少有 20 年历史了）
- movpasd
斯特林公式在统计力学中也应用广泛，因为你经常需要计算状态空间大小的对数，这意味着大量的组合数学，进而涉及大量的阶乘。此外，它是连续函数，所以你可以进行微积分运算。