如何估算阶乘的大小？
How Big Are Factorials?
前几天我在想 52! 到底有多大，这促使我思考如何在不依赖计算器或电脑的情况下估算阶乘。其实，估算阶乘位数（即数字大小）背后有一些非常有趣的数学原理。文章首先给出了估算方法，随后深入探讨了 Gamma 函数和 Stirling 公式的推导过程。通过 Laplace 方法，我们可以从 Gamma 函数积分中推导出 Stirling 近似公式，进而利用对数计算阶乘的位数。以 52! 为例，估算结果与实际值 68 位惊人地接近。在处理这种天文数字时，误差几个位数通常无关紧要，但这套数学工具却能让我们快速把握数量级。
在像这样处理巨大数字的估算中，误差几个位数通常不是什么大问题。
HN 评论区
42- svobodamartin
我最喜欢的一个例子是 52! 秒：
启动一个计时器，从 52! 秒倒数到 0。
然后，每过十亿年走一步，绕着地球赤道走一圈。
接着，当你走完赤道一圈（每十亿年一步）后，从太平洋里取出一滴水。
然后，重复绕赤道行走的过程，每走完一圈，就再取出一滴水。
等海洋被完全抽干后，把海洋重新注满，并在你脚下垫一张纸。
现在，再次重复行走、抽水、垫纸的过程。
等到你垫的纸堆高到太阳时，再重复整个过程 1000 次。
做完这一切，计时器才刚刚走完大约三分之一。
- ninju
作者在文章开头随口提到的 52!，让我想起了多年前看到的一个旧网页：
https://czep.net/weblog/52cards.html
有人知道怎么判断这个页面的年龄吗（它肯定至少有 20 年历史了）
- andrewla
这让我想起了 Bender & Orszag 书中的分析；他们通过差分方程（这在形式数学中已是一门失传的艺术，很有 19 世纪的味道）来处理这个问题，而不是用积分。
他们没有引入伽马函数，而是从观察 log(F_n) - log(F_n-1) = log(n) 出发，将这种差分视为类似于积分，从而得出 F_n 的主项渐近行为约为 nlogn + n。这一点仅通过代入和代数运算就能看清，无需微积分（尽管“预先知道答案”会有帮助）。
从那里出发，你可以将误差项处理为 F_n = n^n * e^n * E_n，并将其代入相同的递推关系（F_n = n * F_n-1），推导出该误差项的渐近形式，最终得到与 OP 中积分方法相同的结果。
- movpasd
斯特林近似在统计力学中也用得很多，因为你经常需要计算状态空间大小的对数，这意味着大量的组合数学，也就是大量的阶乘。此外，它是连续的，所以可以进行微积分运算。
- Sharlin
估算 n! 位数的一个粗略方法是 n lg n，它通过不等式
1 * 2 * … * n ≤ n * … * n
从上方近似 n!。
（这种近似对很多学过算法课程的人来说应该很熟悉。）
若要更紧的界，可使用 n lg n - n/2，或者如果你愿意，用 ln 10 的更好近似值来替换 1/2。这源于斯特林近似，它指出：
ln n! = n ln n - n + O(ln n)。